カテゴリー:
数学
閲覧数:521 配信日:2018-08-06 10:12
集合 Ｖ に対して次の演算を導入する
ベクトル加法
・Vの任意の元a、bに対して、a＋b ∈Ｖ
スカラー乗法
・ Vの任意の元a と (実数全体の集合)Rの任意の元k(スカラー)に対して、ka ∈Ｖ
(空ではない)集合Vが、次の１～８の性質を満たす時、VをR上のベクトル空間という
１～４
・和に関する公理
５～８
・スカラー倍に関する公理
1.ベクトル加法の結合律
(a + b) + c = a + (b + c)
2.ベクトル加法の可換律
a + b = b + a
3.ベクトル加法単位元の存在
ある 0 ∈Ｖ が存在して、任意の a ∈Ｖ に対して a + 0 = a
・単位元 … 演算をして効果を残さないもの・0ベクトル(0元と呼ばれる)が集合の中に存在する
・「任意のベクトルをとってきてベクトル加法をしても何も効果なし」が集合の中に存在する
4.ベクトル加法逆元の存在
任意の元 a ∈Ｖ に対して a + x = 0 となる x ∈Ｖ が存在
・逆元 … 作用させると単位元になるもの5.ベクトル加法に対するスカラー乗法の分配律
k(a + b) = ka + kb
6.体の加法に対するスカラー乗法の分配律
(k + l)a = ka + la
・体 … ここでは実数。集合Rのこと・左辺 … 実数同士の足し算をとってからスカラー乗法する
・右辺 … それぞれスカラー乗法したものの和を取る
・左辺の＋ … 普通の足し算
・右辺の＋ … ベクトル同士の足し算
7.体の乗法とスカラー乗法の両立条件
k(la) = (kl)a
7.スカラー乗法単位元の存在
1a = a