ベジェ曲線とは？
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投稿日:2017-06-30
更新日:2017-08-16
フランス語表記
・Bézier Curve
概要
・「始点」、「終点」、及びその他いくつかの「制御点」からできる曲線
特徴
・「始点」と「終点」を必ず通る
・「始点」と「終点」以外の「制御点」を通らない
・「制御点」を増やすことでより複雑になる
N - 1 次曲線
・N 個の制御点から得られる
・コンピューター上で滑らかな曲線を描くのに2次ベジェ曲線 (Quadratic Bézier curve) や 3次ベジェ曲線 (Cubic Bézier curve) などが広く利用されている
歴史
・フランスの自動車メーカー、シトロエン社のド・カステリョ (Paul de Casteljau) とルノー社のピエール・ベジェ (Pierre Bézier) により別々に考案された
・ド・カステリョの方が先んじていたが、その論文が公知とならなかったためベジェの名が冠されている
・Bézier Curve
概要
・「始点」、「終点」、及びその他いくつかの「制御点」からできる曲線
特徴
・「始点」と「終点」を必ず通る
・「始点」と「終点」以外の「制御点」を通らない
・「制御点」を増やすことでより複雑になる
N - 1 次曲線
・N 個の制御点から得られる
・コンピューター上で滑らかな曲線を描くのに2次ベジェ曲線 (Quadratic Bézier curve) や 3次ベジェ曲線 (Cubic Bézier curve) などが広く利用されている
歴史
・フランスの自動車メーカー、シトロエン社のド・カステリョ (Paul de Casteljau) とルノー社のピエール・ベジェ (Pierre Bézier) により別々に考案された
・ド・カステリョの方が先んじていたが、その論文が公知とならなかったためベジェの名が冠されている
1次ベジェ曲線とは？ ／ ベジェ曲線の原理
1次ベジェ曲線とは？
2 個の制御点から得られる 1次曲線(=直線)
N 個の制御点から得られる N - 1 次曲線
・二次曲線があるなら、一次曲線とか三次曲線もありますか？ただの直線
・一本の線分（P0 から P1）の上を一定の割合で動く点の軌跡
線分を厳密に定義すると？
・P0とP1を結ぶ直線において、P0とP1の間にある全ての点の集合
※2点間のどんな値でも、任意の精度で線形補間することが可能
0 < t < 1 であるとき、「 1 - t :t」の比率で分割すると仮定
L(t)=(1 - t)P0＋tP1
L(t)=P0＋(P1 - P0)t
中間点
P0 - P1 の中間点
（基点とするベクトルP0）＋ (P0からP1へのベクトル) × 比率t
L(0.5)=(1 - 0.5)P0＋0.5✕P1
ベクトルP0、P1をxy座標で表す
P0＝（P0x, P0y)
P1＝（P1x, P1y)
(1 - t)P0＋ｔP1 をxy座標で書き直す
((1-t)P0x+tP1x, (1-t)P0y+tP1y)
ベクトルP0、P1の中間地点をxy座標で表す
・tは0.5
(0.5(P0x+P1x), 0.5(P0y+P1y))
2次ベジェ曲線
2次ベジェ曲線とは？
3 個の制御点から得られる 2次曲線
・始点 … P0
・第1制御点 … P1
・終点 … P2
N 個の制御点から得られる N - 1 次曲線
2段階
・一本の線分（P0 から P1）の上を一定の割合で動く点の軌跡
・一本の線分（P1 から P2）の上を一定の割合で動く点の軌跡
→「上記点同士を結ぶ線分」上を一定の割合で動く点の軌跡
最終的に
・曲線の両端の制御点(始点と終点)から、真ん中の制御点に近づくような曲線になる
3次ベジェ曲線とは？ ／ 利用場面
3次ベジェ曲線とは？
4個の制御点で示される曲線
・始点と第1制御点を結ぶ線分が「始点における曲線の接線」になる
・第2制御点と終点を結ぶ線分が「終点における曲線の接線」になる
4個の制御点構成
・始点 … P0
・第1制御点 … P1
・第2制御点 … P2
・終点 … P3
N 個の制御点から得られる N - 1 次曲線
3段階
・一本の線分（P0 から P1）の上を一定の割合で動く点の軌跡
・一本の線分（P1 から P2）の上を一定の割合で動く点の軌跡
→「上記点同士を結ぶ線分」上を一定の割合で動く点の軌跡A
・一本の線分（P1 から P2）の上を一定の割合で動く点の軌跡
・一本の線分（P2 から P3）の上を一定の割合で動く点の軌跡
→「上記点同士を結ぶ線分」上を一定の割合で動く点の軌跡Ｂ
⇒「上記AB点同士を結ぶ線分」上を一定の割合で動く点の軌跡
利用場面
コンピュータ上で滑らかな曲線を書く場合、3次ベジェ曲線はよく利用されている
・HTML5 の canvas
・SVG
ベジェ曲線
ベジェ曲線を学び、実装する
ベジエ曲線を使ってみよう
ベジェ曲線を手で描いてみる
一から学ぶベジェ曲線
・バーンスタイン多項式
・線分(1次ベジェ曲線)を説明する式で、[]が付与されている理由と縦に並んでいる理由は？
・終了後 → pathタグ
Twitter検索結果。「ベジェ曲線」に関する最新ツイート
うじにぃ @ujiny四半世紀ぶりに、うじにいさんはベジェ曲線なるものをいじりました☺️ 2022/07/03 01:51
クリシェ/なまざかな @nama_sakanaうじにぃ @ujiny
よろぢ @yorodi_ベジェ曲線だいすこ 2022/07/03 01:35
しの @SINOALTERNATIVE不動ベジェ曲線ただG押してなかったらしくてガチで発狂してる 2.9の犠牲は無駄にしない 2022/07/03 00:34
Ζ-ma⚽🚢🏒🐬💎📷✂️ @z_ma_
ONDA+.（オンダプラスドット） @ONDAplusDot（直線的だと言われていたこのあたりもベジェ曲線のような集合体でしたよ） https://t.co/UFjqhmWiUr 2022/07/02 22:37
@KURO🍓 @StrawberryMt_35
ｶﾞﾉｦ🌺 @xganooいやベジェ曲線かしらんけども 2022/07/02 21:09
ｶﾞﾉｦ🌺 @xganooぱそこん使いはじめてからずっとベジェ曲線と戦ってた（わたしが一方的に）けれどついに和解するのか…？ 2022/07/02 21:05
恐竜の幼虫 @nnoow7俺みたいにしょっちゅうタブレットのペン失くす奴には、ベジェ曲線とか便利かもな！(^^) 2022/07/02 19:14
恐竜の幼虫 @nnoow7ベジェ曲線って… 2022/07/02 19:08
前バャ🐸 @mausiro865
たいけつ！ @manyoverlove#KUA絵日記
ベジェ曲線でSの字描けた！ 2022/07/02 13:53
ʞǝʇɐɓǝW💉💉💉 @mepen68000これをベジェ曲線といいます（大嘘） 2022/07/02 11:50
spafranco @spafranco
ユリカ@3ヶ月毎日rkgk晒し上げ @Lily_Inagaki@kraussundmaff すごいなー、イラレ使ってた事もあるけどベジェ曲線とかむり… 2022/07/02 07:36
障がい者アート協会 @shougaishaArt
✨ハイエナガール🛼 0.9/10✒️ @Hyenagirl_chanこのまま行けばそのうち手からベジェ曲線引けるようになるかも 2022/07/02 02:38
いののて @inonoteいののて @inonote
いとー３ @ray_itoh3なんだよ！ベジェ曲線あるんじゃないかよ！もっと早く言えよ！ 2022/07/01 23:32
なでち/ネヂハ @ndh331絵を描き始めた当初はクリスタのベジェ曲線で線を引いてた 2022/07/01 21:39