ベクトル

数学

ベクトルとは?

 状態:-  閲覧数:1,806  投稿日:2018-06-14  更新日:2018-08-25  

表記


英語
・vector

ベクトルの意味は2種類ある


高校数学でのベクトル
・このページで掲載している内容

大学数学でのベクトル
ベクトル空間の元(集合の要素)
・抽象的にする → 議論を一般的にする → 適用範囲を広くする
※高校数学でベクトルと呼んでいたものを、大学数学では幾何ベクトルと呼ぶ
※幾何ベクトルは、大学数学での広い意味のベクトルの特殊な例となる

方向を持つ量


(矢印で表さなくてならない)「向きを持った量」のこと
・向きと大きさで決まるもの

ベクトルが持つ情報(必要なものは以下の2つだけ)
・方向(向き)
・大きさ(量、距離)

図にすると?
・1本の矢印になる

意味 / 数式 / 特徴

 閲覧数:242 投稿日:2018-06-14 更新日:2018-07-10 

意味


目標までの向きと距離を表す
・ある位置からある位置に向けての移動量を表す

数式


A から B への向きと、線分 AB の長さを持つベクトル


・1つの文字でベクトルを表すこともある



A から C への向きと、線分 AC の長さを持つベクトル



線分 AB の長さ



線分 a の長さ



特徴


四則計算(足す、引く、掛ける、割る)可能

足す
・ベクトル同士で足し算を行うと、最終的な移動量になる

引く
・反対向きのベクトルを足すと考える

掛ける
・ベクトルに数値を掛けると、方向はそのままで距離が数値倍になる
・ベクトルにマイナスの数値を掛けると、反対向きになる

単位ベクトル

 閲覧数:268 投稿日:2018-06-14 更新日:2018-07-12 

単位ベクトルとは?


英語表記
・unit vector

長さ(ノルム)が 1 のベクトル
・方向の成分だけを持ったベクトル
・色々な計算に活用される

単位ベクトルを計算するには?


元のベクトルを長さで割る
単位ベクトル = ベクトル / ベクトルの長さ


ベクトルが等しい

 閲覧数:239 投稿日:2018-06-17 更新日:2018-07-11 

ベクトルが等しいとは?


2つのベクトルの「向き」と「大きさ」がそれぞれ同じであれば、その2つのベクトルは等しい

ベクトルの足し算

 閲覧数:399 投稿日:2018-06-27 更新日:2018-08-10 

ベクトルの足し算の基本的な考え方


ベクトルの和はベクトルになる

AB, BC というように、しりとりのように足せば、間を取り除いて AC という結論になる
・「1つ目の終点」と「2つ目の始点」が同じベクトルの和は、「1つ目の始点」から「2つ目の終点」へのベクトル



2つのベクトルが離れている場合は?


平行移動をして「しりとり」のようにするか、「平行四辺形の対角線」のようにしてから、足す
ベクトルの足し算

交換法則


足す順番を変えても結果が変わらない



結合法則


どこから足すかを変えても結果が変わらない



逆ベクトル

 閲覧数:260 投稿日:2018-07-11 更新日:2018-07-18 

表記


英語
・opposite vector

向きが反対で大きさが同じベクトル


あるベクトル

に対して、向きが反対で大きさが同じベクトルを、そのベクトルの逆ベクトル(opposite vector) といい、


で表す

逆ベクトルは、向きが反対で大きさが同じベクトルと等しい



零ベクトル

 閲覧数:258 投稿日:2018-07-12 更新日:2018-07-26 

表記


平仮名
・れいベクトル

英語
・zero vector

大きさがない


ベクトルの始点と終点が同じ場合、大きさがない
・ベクトルの世界でのゼロ

具体例


引き算



しりとりの形



向きがない


大きさがないので、向きも考えない


零ベクトル

ベクトルの内積

 閲覧数:244 投稿日:2018-07-17 更新日:2018-08-05 

表記


英語
・Inner product of vector

「2つのベクトルの類似度」を表す


軸として用いている2つのベクトルが、どれだけ同じような方向を向いているか、という情報
・同じ方向ならマックス
・全く逆の方向ならミニマム、

注意点


内積は数字
・内積自体は向きを持っていないため、ベクトルではない

普通の掛け算のようにはいかない
・「内積」という言葉から、ベクトルとベクトルを掛ける、と思いがちだが、向きがあるので普通の掛け算のようにはいかない
・実際には「類似度」を表すものだと考える

ベクトルaとベクトルbの内積とは?


下記のこと



間にある「⋅」を省略できない
・数字の掛け算とも違うので、「⋅」 を「×」 と書いてもいけない



0ベクトル でない2つのベクトaベクトル,bベクトルに対し、なす角をθとする
・このとき、 ベクトaベクトル,bベクトルの内積

は、次で定義される


※何れかが 0ベクトル なら、内積は 0 とする

2つのベクトルからできる角の cos
・0° なら1
・180° なら −1



ベクトルの内積

2次元ベクトル / 3次元ベクトル / ゲームプログラミングとの関連

 閲覧数:260 投稿日:2018-07-23 更新日:2018-07-27 

2次元ベクトル


ベクトルVはx,yの2つの数値で構成される
・xy軸の交点は、原点(0,0)にあるとは限らない

3次元ベクトル


ベクトルVはx,y,zの3つの数値で構成される
・xyz軸の交点は、原点(0,0,0)にあるとは限らない


ゲームプログラミングとの関連


ベクトル
・物体間の距離や方向を調べたり物体を移動させる

ベクトルの内積・外積
・当たり判定などで使用





・https://speakerdeck.com/clown0082/ji-jie-xue-xi-falsetamefalseshu-xue-bekutorutoxing-lie-falseyi-wei-toji-suan?slide=1

ベクトル


工業数学B(再)

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