ベクトルとは？
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投稿日:2018-06-14
更新日:2018-08-25
表記
英語
・vector
ベクトルの意味は2種類ある
高校数学でのベクトル
・このページで掲載している内容
大学数学でのベクトル
・ベクトル空間の元(集合の要素)
・抽象的にする → 議論を一般的にする → 適用範囲を広くする
※高校数学でベクトルと呼んでいたものを、大学数学では幾何ベクトルと呼ぶ
※幾何ベクトルは、大学数学での広い意味のベクトルの特殊な例となる
方向を持つ量
(矢印で表さなくてならない)「向きを持った量」のこと
・向きと大きさで決まるもの
ベクトルが持つ情報(必要なものは以下の2つだけ)
・方向(向き)
・大きさ(量、距離)
図にすると？
・１本の矢印になる
意味 ／ 数式 ／ 特徴
意味
目標までの向きと距離を表す
・ある位置からある位置に向けての移動量を表す
数式
A から B への向きと、線分 AB の長さを持つベクトル
・1つの文字でベクトルを表すこともある
A から C への向きと、線分 AC の長さを持つベクトル
線分 AB の長さ
線分 a の長さ
特徴
四則計算（足す、引く、掛ける、割る）可能
足す
・ベクトル同士で足し算を行うと、最終的な移動量になる
引く
・反対向きのベクトルを足すと考える
掛ける
・ベクトルに数値を掛けると、方向はそのままで距離が数値倍になる
・ベクトルにマイナスの数値を掛けると、反対向きになる
単位ベクトル
単位ベクトルとは？
英語表記
・unit vector
長さ（ノルム）が 1 のベクトル
・方向の成分だけを持ったベクトル
・色々な計算に活用される
単位ベクトルを計算するには？
元のベクトルを長さで割る
単位ベクトル = ベクトル / ベクトルの長さ
ベクトルが等しい
ベクトルの足し算
ベクトルの足し算の基本的な考え方
ベクトルの和はベクトルになる
AB, BC というように、しりとりのように足せば、間を取り除いて AC という結論になる
・「1つ目の終点」と「2つ目の始点」が同じベクトルの和は、「1つ目の始点」から「2つ目の終点」へのベクトル
2つのベクトルが離れている場合は？
平行移動をして「しりとり」のようにするか、「平行四辺形の対角線」のようにしてから、足す
・ベクトルの足し算
交換法則
足す順番を変えても結果が変わらない
結合法則
どこから足すかを変えても結果が変わらない
逆ベクトル
表記
英語
・opposite vector
向きが反対で大きさが同じベクトル
あるベクトル
に対して、向きが反対で大きさが同じベクトルを、そのベクトルの逆ベクトル(opposite vector) といい、
で表す
逆ベクトルは、向きが反対で大きさが同じベクトルと等しい
零ベクトル
表記
平仮名
・れいベクトル
英語
・zero vector
大きさがない
ベクトルの始点と終点が同じ場合、大きさがない
・ベクトルの世界でのゼロ
具体例
引き算
しりとりの形
向きがない
大きさがないので、向きも考えない
・零ベクトル
ベクトルの内積
表記
英語
・Inner product of vector
「2つのベクトルの類似度」を表す
軸として用いている2つのベクトルが、どれだけ同じような方向を向いているか、という情報
・同じ方向ならマックス
・全く逆の方向ならミニマム、
注意点
内積は数字
・内積自体は向きを持っていないため、ベクトルではない
普通の掛け算のようにはいかない
・「内積」という言葉から、ベクトルとベクトルを掛ける、と思いがちだが、向きがあるので普通の掛け算のようにはいかない
・実際には「類似度」を表すものだと考える
ベクトルaとベクトルbの内積とは？
下記のこと
間にある「⋅」を省略できない
・数字の掛け算とも違うので、「⋅」 を「×」 と書いてもいけない
0ベクトル でない2つのベクトaベクトル,bベクトルに対し、なす角をθとする
・このとき、 ベクトaベクトル,bベクトルの内積
は、次で定義される
※何れかが 0ベクトル なら、内積は 0 とする
2つのベクトルからできる角の cos
・0° なら1
・180° なら −1
ベクトルの内積
2次元ベクトル ／ ３次元ベクトル ／ ゲームプログラミングとの関連
2次元ベクトル
ベクトルVはx,yの2つの数値で構成される
・xy軸の交点は、原点(0,0)にあるとは限らない
３次元ベクトル
ベクトルVはx,y,zの３つの数値で構成される
・xyz軸の交点は、原点(0,0,0)にあるとは限らない
ゲームプログラミングとの関連
ベクトル
・物体間の距離や方向を調べたり物体を移動させる
ベクトルの内積・外積
・当たり判定などで使用
・https://speakerdeck.com/clown0082/ji-jie-xue-xi-falsetamefalseshu-xue-bekutorutoxing-lie-falseyi-wei-toji-suan?slide=1
・ベクトル
・工業数学B（再）